Questo post partecipa al prossimo Carnevale della Fisica ospitato su Scienzaltro che ha come argomento fisica e trasporto.
Abbiamo visto in L’ambiente di radiazione in orbita terrestre come la terra sia costantemente bombardata da particelle cariche di origine solare (vedi anche cosa è una tempesta solare), galattica (GCR) o extragalattica e come sia presente una componente di protoni intrappolati nelle fasce di Van Allen. Abbiamo accennato a come il campo magnetico terrestre ci protegga da questi raggi cosmici e a come il flusso di raggi cosmici sia maggiore ai poli piuttosto che all’equatore proprio a causa della struttura del campo geomagnetico.
Ma quanto ci protegge il campo magnetico? Che energia hanno le particelle che penetrando il campo magnetico riescono a raggiungere la superficie terrestre? Cerchiamo di fare qualche calcolo per rispondere a queste domande.
Abbiamo visto che il campo magnetico terrestre è in prima approssimazione un campo dipolare con i poli magnetici invertiti rispetto ai poli geografici, inclinato di circa 11° rispetto all’asse di rotazione terrestre e con il centro del dipolo spostato di 320 km rispetto al centro della Terra (particolare essenziale per capire l’origine dell’Anomalia del Sud Atlantico). Il calcolo esatto delle orbite dei raggi cosmici tenuto conto del loro moto nel campo magnetico terrestre è abbastanza complesso, ma le caratteristiche principali di questa interazione possono essere capiti con un calcolo più semplice.
Abbiamo già visto che l’equazione che regola l’interazione tra le particelle cariche e il campo magnetico è quella che descrive la forza di Lorentz F = q v x B. Consideriamo una particella di carica pari a q = Z|e| (dove Z è il numero atomico, cioè il numero di protoni nel nucleo dell’elemento ed |e| il modulo della carica dell’elettrone, cioè con segno +) di massa m e velocità v (oppure di momento p = m v) immersa in un campo magnetico generato da un dipolo di momento M che percorre una traiettoria equatoriale di raggio r.
Possiamo ricavare il raggio r di questa orbita eguagliando la forza centrifuga e la forza di Lorentz
Sostituendo al campo magnetico il valore dovuto al dipolo sul piano equatoriale
Otteniamo che il raggio dell’orbita è quindi
Questo raggio è detto unità di Stormer, dal nome del fisico che ha trattato il problema, e rappresenta il raggio dell’orbita equatoriale di una particella di data massa, carica e momento in un campo magnetico generato da un dipolo M.
Un valore particolarmente significativo del momento di una particella è quello per il quale il raggio di Stormer equivale al raggio terrestre:
Questo valore di 59.6 GeV è il valore minimo che un protone deve avere per raggiungere la terra dall’orizzonte orientale sull’equatore magnetico. Per chi volesse rifarsi i calcoli nel SI m0/4p = 10-7 , M = 8 1022 A m2, rE = 6.38 106 m, |e| = 1.6 10-19 C e il risultato è l’energia della particella in J. Per ottenere l’energia in GeV dovete dividere il risultato per 1.6 1010 J (che equivale a 1 GeV).
Stormer ha mostrato che l’equazione del moto di una particella ha una forma del tipo
dove r è la distanza dal centro del dipolo in unità di Stormer, l è la latitudine geomagnetica e q è l’angolo tra il vettore velocità v e la sua proiezione nel piano OAB comovente con la particella.
L’angolo q è definito positivo per le particelle che viaggiano da est a ovest, e negativo per quelle che viaggiano in direzione opposta, mentre la quantità b è il cosiddetto parametro d’impatto (sempre espresso in unità di Stormer). Sin(q) deve essere minore di 1 e questo pone dei limiti ai valori di b, r e l per le traiettorie permesse delle particelle che raggiungono la terra. La condizione b < 2 è critica per determinare il momento delle particelle fermate (cut off) dal campo magnetico terrestre. Sostituendo b = 2 nell’equazione precedente, il momento di cut off in funzione di l e q è
Considerando r = rE/rS (cioè siamo interessati a particelle con raggio in unità di Stormer pari al raggio terrestre, che arrivino sulla Terra) riscriviamo la relazione precedente come
Per esempio, possiamo quindi calcolare il momento di cut off per particelle che arrivino dalla verticale, e cioè con q = 0 e r = 1/2 cos2 (l) (ottenuto sostituendo q = 0 nell’equazione ottenuta da b = 2)
Nell’Europa del Nord, con l ~ 50° N, il momento di cut off verticale risulta 1.1 GeV che equivale ad un’energia cinetica minima per un protone di 0.48 GeV. Oppure, considerando particelle incidenti sull’equatore magnetico, il momento di cut off verticale è 14.9 GeV c-1. Particelle provenienti dall’orizzonte est (sin q = + 1) hanno un cut off minimo di 59.6 GeV c-1, mentre quelle provenienti dall’orizzonte ovest (sin q = – 1) hanno un cut off minimo di 10.2 GeV c-1. Quindi (e questo vale per tutte le latitudini) arrivano più particelle da ovest che da est in quanto le prime hanno un momento di cut off minore (cioè hanno bisogno di avere un’energia minore per raggiungere la Terra). Questo effetto è chiamato effetto est-ovest. Potete capire questo effetto considerando che nel campo magnetico terrestre, tutte le particelle cariche positivamente sono deflesse in una spirale di senso orario (viste dal polo Nord).
Questa trattazione approssimata non tiene conto del fatto che il dipolo terrestre è decentrato rispetto al centro della Terra e che esistono componenti del campo magnetico di ordine maggiore (quadrupolo). Inoltre queste considerazioni valgono solo vicino alla Terra, in quanto oltre qualche raggio terrestre il campo magnetico terrestre (e quindi le traiettorie delle particelle cariche) sono fortemente deformate dall’interazione con il vento solare.
Fonte: Donald Perkins, Particle Astrophysics, OMS IN PPAC, 2003
Background noise 
molto simpatico.. comunque credo che la trattazione tenga conto dei termini di ordine superiore. lambda è la coordinata geomagnetica che si calcola a partire dall’IGRF che tiene conto di tutti i termini. In questa maniera i calcoli restano validi. Non so per lo schiacciamento della magnetosfera da un lato e l’allungamento dall’altro a causa del vento solare
Questo è quello che dice il Perkins. E’ probabile come dici tu che lambda possa essere calcolata in modo da tenere conto anche dei termini di quadrupolo.
ma lambda non è la latitudine geomagnetica in coordinate IGRF? In quel caso dovrebbe tener conto di tutto, ma ovviamente Perkins docet….
Per una particella nel campo magnetico terrestre ad una certa distanza R dal centro del dipolo, B è ben definito dalla relazione (2), ed il raggio di curvatura determinato dall’uguaglianza della forza centripeta e della forza di Lorentz può assumere qualsiasi valore in funzione del momento della particella. In sostanza il raggio di curvatura NON è lo stesso raggio che compare nell’espressione di B, in quanto quest’ultimo esprime semplicemente la distanza della particella dal centro del dipolo. Una volta fissata quest’ultima, infatti, il raggio di curvatura NON è univocamente determinato. É pertanto errato svolgere conti assumendo che i due raggi siano equivalenti, semplificandoli ed accorpandoli a piacere. So bene che il Perkins cita testualmente quello che hai scritto (o meglio, il contrario), ma pare che né il sig. Perkins né altri nella rete si siano accorti della cosa, o per lo meno non facciano finta di nulla ripetendo a ruota calcoli poco convincenti.