I vettori e la loro somma

Per descrivere alcuni fenomeni in modo esaustivo non è sufficiente utilizzare grandezze fisiche puramente numeriche, ma è necessario introdurre un diverso oggetto matematico. Un esempio di questa necessità è rappresentato, ad esempio, dalla descrizione di un moto che si svolge sul piano e non su una retta come abbiamo visto qui. Infatti quando dobbiamo descrivere il moto in due dimensioni (o in tre se parliamo di moto nello spazio) possiamo avere il bisogno di descrivere una traiettoria del genere:

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In questo caso abbiamo un moto separato in tre parti:

1. lungo il segmento a (nel verso indicato dalla freccia) per una distanza di 4 m

2. lungo il segmento b per una distanza di 3 m

3. lungo il segmento c la cui lunghezza, dato che a e b formano un angolo di 90°, risulta calcolabile con il teorema di Pitagora da cui

Possiamo quindi descrivere la distanza totale percorsa come la somma delle distanze percorse nei tre segmenti a, b e c ottenendo una distanza totale d pari a 12m.

Ma riusciamo a sapere di quanto ci siamo spostati mediante questo calcolo? Se consideriamo lo spostamento, infatti, osserviamo che la posizione iniziale corrisponde con la posizione finale e quindi lo spostamento totale è zero. Dunque il calcolo eseguito non è una descrizione esauriente del moto indicato in figura, poiché ci restituisce solo la distanza effettivamente percorsa ma non tiene adeguatamente in considerazione il fatto che lo spostamento totale è nullo. Quello che il calcolo non riesce a considerare è l’orientamento dei singoli segmenti, che in questo caso formano una traiettoria chiusa e dunque uno spostamento nullo.

L’orientamento dei singoli segmenti è invece una caratteristica fondamentale per descrivere il moto in due dimensioni, prendendo infatti gli stessi segmenti e posizionandoli diversamente otteniamo traiettorie diverse che, a fronte di una distanza totale sempre uguale a 12m, corrispondono a spostamenti diversi.

Come facciamo quindi ad avere una descrizione matematica del moto sul piano e calcolare lo spostamento? Calcolo che nel primo caso deve dare come risultato a + b + c = 0 (e quindi 4 + 3 + 5 = 0).

L’oggetto matematico che rappresenta lo spostamento e tiene dunque conto sia della lunghezza che dell’orientamento del segmento che lo rappresenta è il vettore. Il vettore è dunque rappresentato non solo da un valore numerico (la lunghezza del segmento), ma anche da una direzione (la retta lungo la quale è posizionato il segmento) e da un verso (l’orientamento del segmento). Il valore numerico è anche detto intensità o modulo del vettore. Il vettore viene indicato da una lettera con sopra una piccola freccia (ad esempio ), la stessa lettera senza la freccia indica il modulo del vettore. Con questo nuovo oggetto possiamo tornare a studiare la nostra operazione precedente in cui lo spostamento totale è rappresentato correttamente dalla somma vettoriale .

Ma come si effettua la somma tra vettori? Ci sono diverse possibilità. Ci sono due diversi metodi geometrici e un metodo analitico (numerico).

Il metodo punta-coda

Per sommare due vettori con il metodo punta-coda dobbiamo trasportare la coda del secondo vettore sulla punta del primo (senza cambiare né la lunghezza né l’inclinazione dei due vettori). La somma è data da un vettore la cui coda coincide con la coda del primo vettore e la cui punta coincide con la punta del secondo vettore, come si vede bene dal vettore spostamento.

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Il metodo del parallelogramma

In questo secondo metodo geometrico dobbiamo invece trasportare il secondo vettore in modo che la sua coda corrisponda con la coda del primo vettore. A questo punto dobbiamo tracciare la retta parallela al secondo vettore passante per la punta del primo vettore e la retta parallela al primo vettore passante per la punta del secondo vettore. La somma vettoriale è data da un vettore che inizia nel punto in cui sono posizionate le due code e termina nel punto di incontro delle rette parallele.

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Il metodo analitico

Per applicare questo metodo dobbiamo prima di tutto introdurre una nuova rappresentazione dei vettori. Disegniamo ogni vettore in un piano cartesiano, con la coda nell’origine degli assi (il punto 0,0). Il vettore sarà rappresentato allora dalla coppia di numeri corrispondente alle coordinate x e y della punta del vettore. Queste coordinate si dicono anche componenti del vettore. Prendendo come esempio i vettori dello spostamento originale abbiamo ad esempio

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La somma vettoriale è un vettore le cui componenti sono la somma delle componenti di e di .

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Si vede che il vettore somma è lo stesso che avremmo ottenuto utilizzando uno dei due metodi geometrici illustrati in precedenza. ATTENZIONE: Bisogna sempre posizionare la coda del vettore nell’origine degli assi del piano cartesiano.

Componenti negative

In un piano cartesiano ci sono alcune zone (chiamate quadranti) in cui una o più coordinate sono negative.

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Nel I quadrante x e y sono entrambi positive, nel II quadrante la coordinata x è negativa mentre la y è positiva, nel III quadrante sia x che y sono negative, nel IV quadrante la x è positiva e la y è negativa. Alcuni vettori sono orientati in modo che la loro punta cada in uno di questi quadranti. In questo caso alcune o tutte le loro componenti corrispondono a coordinate negative. In questo caso l’eventuale segno negativo va riportato all’interno delle componenti e ne va tenuto conto al momento di fare la somma vettoriale, sommando o sottraendo a seconda del segno. Allo stesso modo va disegnato correttamente l’eventuale risultato con componenti negative.

In questo caso la somma vettoriale è

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Esercizio

Utilizzando i tre metodi illustrati, verificare che lo spostamento totale dell’esempio iniziale dia come risultato un vettore nullo (in cui coda e punta coincidono).

Casi particolari

Calcolare la somma vettoriale, utilizzando i tre metodi illustrati, di due vettori con stessa intensità, stessa direzione ma verso opposto. Cosa osserviamo?

Materiale

Potete scaricare la versione word di questa lezione da qui (http://1drv.ms/1ncto6k).
I disegni dei vettori sono stati fatti con Geogebra.

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Analisi del 2015

I folletti delle statistiche di WordPress.com hanno preparato un rapporto annuale 2015 per questo blog.

Il pezzo di cui sono più soddisfatto è Vado al Massimo, apparso in versione ridotta anche su Scientificast

Ecco un estratto:

Una metropolitana a New York trasporta 1 200 persone. Questo blog è stato visto circa 6.200 volte nel 2015. Se fosse una metropolitana di New York, ci vorrebbero circa 5 viaggi per trasportare altrettante persone.

Clicca qui per vedere il rapporto completo.

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Star Wars: The force awakens – una recensione lampo #NoSpoiler

Bel film, bella atmosfera, fantastiche le astronavi, i rottami, gli alieni, l’ambientazione generale, la polvere. Forse un po’ troppo Episodio IV, specie nella battaglia finale, ma tutto sommato reimmaginato bene. Unici assenti ingiustificati i cattivi e l’aspetto mistico di Star Wars (ma almeno non ci sono i Midichlorian). Ma nonostante queste mancanze un ottimo film, che ci lascia con personaggi interessanti e domande a cui rispondere (sia nel futuro che nel passato di Episodio VII). E non vedo l’ora che arrivino le risposte.

Bella anche la colonna sonora, che nel momento in cui lui appare, si rivela. In ogni modo la trovate qui (ATTENZIONE, i titoli dei brani potrebbero contenere SPOILER): https://play.spotify.com/album/3fUKGTsiYL1kSroBWBLmmR

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Il moto

Introduzione

La branca della fisica che studia il moto si chiama cinematica. Per definire il moto di un oggetto abbiamo bisogno di definire alcuni concetti.

Approssimazione di punto materiale

Dobbiamo ignorare tutte le caratteristiche del corpo che non siano la sua massa o la sua posizione e considerarlo come un punto. Per poter mantenere la validità di questa approssimazione le dimensioni del corpo devono essere piccole rispetto al percorso effettuato.

Sistema di riferimento

Per descrivere il moto di un corpo abbiamo bisogno di un sistema di riferimento, cioè di un sistema di assi cartesiani in cui poter identificare la posizione del corpo. Sistemi diversi possono portare a descrizioni diversi del moto.

Esempio: se siete seduti su un treno in movimento e avete una borsa sul sedile accanto a voi, la borsa è ferma nel vostro sistema di riferimento (che si muove insieme al treno) ma si muove rispetto ad una persona che vi osserva dalla stazione (perché il treno, e quindi la borsa, si muovono nel sistema di riferimento della stazione).

Il sistema di assi cartesiani può comprendere tutte e tre le dimensioni dello spazio (x, y, z) oppure per semplicità essere limitato a un numero minore di dimensioni. In questa nostra trattazione considereremo solamente moti rettilinei, lungo una sola dimensione, quindi per quanto riguarda gli assi dello spazio avremo solo la dimensione x. La descrizione del moto, che tratta della variazione della posizione di un oggetto nel tempo, richiede l’aggiunta di un ulteriore asse cartesiano che rappresenta il tempo.

Tempo e spazio

Per descrivere il moto abbiamo bisogno di definire le seguenti grandezze:

Posizione

La posizione di un oggetto è data dalle sue coordinate in un sistema di riferimento. Nel moto in una dimensione la posizione di un oggetto è data solo dal valore della sua coordinata x. Si indica, di solito, con la lettera s minuscola e nel SI (Sistema internazionale) si misura in metri (o suoi multipli/sottomultipli).

Tempo (istante di tempo)

L’istante di tempo serve ad identificare quando è avvenuto un evento, nel caso dello studio del moto indica quando un oggetto si trova in una determinata posizione. È quindi un valore in un sistema di riferimento temporale. Si indica, di solito, con la lettera t minuscola e nel SI si misura in secondi (o suoi multipli/sottomultipli).

Esempio: l’istante di tempo in cui vi trovate a scuola alla prima ora sono le ore 8:15, nel sistema di riferimento in cui di solito contiamo il tempo. Un diverso sistema di riferimento potrebbe prendere come 0 l’istante in cui iniziamo una misura, per cui tutti i valori temporali verranno riferiti all’inizio della misura.

Distanza

La distanza percorsa da un oggetto durante il suo moto è pari alla differenza tra due posizioni in due istanti di tempo diversi. Dato che è una differenza di posizioni si indica con Ds e nel SI si misura in metri (o suoi multipli/sottomultipli), come la distanza.

dove è la posizione finale e è la posizione iniziale. Come si vede anche dalla formula, nel caso in cui il moto di un oggetto parta dall’origine del sistema di riferimento, il valore della distanza percorsa coincide con la posizione finale. Infatti se allora (da ora in poi al posto di allora useremo il simbolo =>) .

Intervallo di tempo

L’intervallo di tempo è la differenza tra due istanti di tempo e serve ad indicare quanto tempo è passato tra due eventi. Essendo una differenza di istanti di tempo lo indichiamo con e nel SI lo misuriamo in secondi (o suoi multipli/sottomultipli).

dove è l’istante finale e è l’istante iniziale. Come si vede anche dalla formula, nel caso in cui il primo evento avvenga al tempo 0, il valore dell’intervallo di tempo coincide con il tempo finale.
Infatti se => (allora) .

Velocità

Dopo aver definito le grandezze che ci permettono di descrivere lo spazio e il tempo introduciamo la velocità. La velocità indica la variazione della posizione in funzione del tempo. La velocità è il rapporto tra la distanza percorsa e l’intervallo di tempo impiegato a percorrere quella distanza.

La velocità si indica con la lettera v minuscola e si misura (nel SI) in m/s. La velocità calcolata per un intero percorso, o parti di esso, si chiama velocità media. Se la velocità si riferisce ad un intervallo di tempo piccolissimo (al limite un singolo istante) si dice velocità istantanea.

Moto Rettilineo Uniforme

Il moto rettilineo uniforme è quel moto lungo una traiettoria rettilinea in cui la velocità è costante. Dalla formula della velocità

possiamo ricavare che la relazione tra distanza ed intervallo di tempo è di proporzionalità diretta. Infatti due grandezze il cui rapporto è una cosante sono direttamente proporzionali. Quindi in un grafico con il tempo sull’asse delle ascisse e la distanza sull’asse delle ordinate il moto rettilineo uniforme corrisponderà ad una retta passante per l’origine.

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L’inclinazione della retta corrisponde alla velocità. Più la retta è inclinata, maggiore sarà la velocità. Una retta orizzontale corrisponde ad un oggetto fermo (v = 0).

Per ricavare l’equazione della distanza percorsa in funzione del tempo trascorso (cioè la formula che mette in relazione distanza, tempo e velocità) dobbiamo invertire la formula della velocità e troveremo:

Per trovare l’equazione generale della posizione (non della distanza) in funzione del tempo, ricordiamoci che

e che

per cui sostituendo nella equazione precedente otteniamo

Considerando il tempo iniziale uguale a zero e spostando la posizione iniziale al secondo membro dell’equazione otteniamo

cioè la posizione finale è uguale alla velocità moltiplicato il tempo finale, il tutto sommato alla posizione iniziale. Questa equazione vale per un qualsiasi istante di tempo t e quindi possiamo scriverla come equazione oraria del moto rettilineo uniforme nella sua forma più generale

che si legge come: la posizione s in funzione del tempo, s(t), è uguale alla velocità moltiplicata per il tempo trascorso e sommata alla posizione iniziale (posizione al tempo zero ovvero s0).

Accelerazione

L’accelerazione serve a descrivere la variazione della velocità nel tempo. L’accelerazione è il rapporto tra la velocità e l’intervallo di tempo impiegato a raggiungere quella velocità.

La velocità si indica con la lettera a minuscola e si misura (nel SI) in m/s2. Nel caso di moto rettilineo uniforme essendo la velocità costante, sempre uguale, la sua variazione è nulla, cioè l’accelerazione nel moto rettilineo uniforme vale zero.

Moto uniformemente accelerato

Il moto uniformemente accelerato è un moto in cui la variazione di velocità, cioè l’accelerazione, è costante nel tempo. Visto che la velocità cambia nel tempo può essere interessante studiare il grafico della velocità in funzione del tempo. Da un punto di vista matematico valgono le stesse considerazioni fatte per il moto uniforme, solo che stavolta ad essere costante è il rapporto tra la variazione di velocità e il tempo. Possiamo quindi ricavare la relazione tra velocità e tempo semplicemente scambiando dalle formule precedenti l’accelerazione con la velocità e la velocità con lo spazio. Quindi dalla formula della accelerazione

possiamo ricavare che la relazione tra variazione di velocità e l’intervallo di tempo è di proporzionalità diretta. Quindi nel grafico tempo-velocità la velocità del moto uniformemente accelerato corrisponde ad una retta passante per l’origine. L’inclinazione della retta corrisponde all’accelerazione.

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Più la retta è inclinata, maggiore sarà l’accelerazione. Una retta orizzontale corrisponde ad un oggetto con velocità costante (a = 0), cioè un oggetto che si muove di moto rettilineo uniforme.

Per ricavare l’equazione della variazione di velocità in funzione del tempo trascorso (cioè la formula che mette in relazione velocità, tempo e accelerazione) dobbiamo invertire la formula della accelerazione e troveremo:

Per trovare l’equazione generale della velocità (non della variazione della velocità) in funzione del tempo, ricordiamoci che

e che

per cui sostituendo nella equazione precedente otteniamo

Considerando il tempo iniziale uguale a zero e spostando la velocità iniziale al secondo membro dell’equazione otteniamo

cioè la velocità finale è uguale alla accelerazione moltiplicato il tempo finale, il tutto sommato alla velocità iniziale. Questa equazione vale per un qualsiasi istante di tempo t e quindi possiamo scriverla come equazione oraria della velocità nel moto rettilineo uniformemente accelerato nella sua forma più generale

 

che si legge come: la velocità v in funzione del tempo, v(t), è uguale alla accelerazione moltiplicata per il tempo trascorso e sommata alla velocità iniziale (velocità al tempo zero ovvero v0).

Trovata l’equazione della velocità passiamo ora a studiare la relazione tra la posizione ed il tempo nel caso del moto uniformemente accelerato. Come prima la relazione tra la distanza percorsa è sempre

Solo che, non essendo la velocità costante, nel moto uniformemente accelerato questa relazione vale solo per la velocità media. Dobbiamo quindi calcolare quanto vale la velocità media nel caso del moto uniformemente accelerato. In questo caso (in cui velocità e tempo sono direttamente proporzionali) la velocità media può essere calcolata come

Possiamo sostituire la formula della velocità in funzione del tempo che abbiamo calcolato prima

ed otteniamo

Sostituiamo in ed otteniamo

Come prima, sostituiamo e ed otteniamo

Ora poniamo a zero il tempo iniziale e togliamo le parentesi moltiplicando tutti i membri per il tempo finale

Portando la posizione iniziale al secondo membro dell’equazione siamo quasi arrivati alla forma finale

Ora scriviamo il tutto come equazione oraria dello spazio in funzione del tempo, sostituendo tutte le quantità iniziali con le quantità al tempo zero e trovando quindi l’equazione oraria del moto uniformemente accelerato nella sua forma più generale

Il grafico di questa equazione corrisponde ad una curva detta parabola

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Vado al massimo (life in the fast lane)

Oggi parliamo della teoria della relatività ristretta di Einstein. Questo pezzo è stato pubblicato in forma ridotta su Scientificast (Il mondo visto con gli occhi di un fotone).

“Henceforward space on its own and time on its own will decline into mere shadows, and only a kind of union between the two will preserve its independency” Minkowsky, 1908

Da qui in avanti lo spazio ed il tempo presi singolarmente si ridurranno a mere ombre, e solo una sorta di unione tra i due manterrà la sua indipendenza.” Con queste parole nel 1908 Hermann Minkowsky descriveva in modo poetico l’impatto che la teoria della relatività ristretta avrebbe avuto sulla nostra comprensione del mondo. La teoria di Einstein rivoluziona la visione galileiana del mondo e introduce il concetto di spazio-tempo come teatro quadridimensionale in cui i fisici devono descrivere il mondo per averne una visione corretta. Come abbiamo già visto in A Colazione con Einstein infatti, il tempo e lo spazio cessano di essere concetti assoluti e diventano dipendenti dall’osservatore e dalla velocità con la quale egli si muove.

Possiamo stare tranquilli, però, nessuno potrà giustificare un ritardo, a scuola o a lavoro, tirando in ballo la dilatazione dei tempi relativistica. Alle velocità che sperimentiamo nella vita di tutti i giorni questi effetti sono talmente piccoli da risultare trascurabili *, ma cosa succede a quelle entità che si muovono a velocità prossime se non uguali a quelle della luce? Quali sono gli effetti della relatività che non si possono più trascurare in quelle condizioni? E soprattutto come cambia l’esperienza del mondo?

Prima di rispondere a queste domande rivediamo insieme i concetti della relatività ristretta ed analizziamo le loro conseguenze sulla nostra percezione del mondo.

Per prima cosa il principio di relatività si basa sul fatto che quando parliamo di velocità dobbiamo specificare il sistema di riferimento in cui stiamo effettuando la misura, perché il moto (a velocità costante) è relativo. Immaginiamo un astronauta, George, che fluttua nel buio dello spazio profondo, lontano da stelle o pianeti. Osserva in lontananza una luce avvicinarsi. Man mano che la luce si avvicina l’astronauta riesce a vedere che la luce è sulla tuta di una seconda astronauta, Grace, che una volta avvicinatasi continua nel suo volo spaziale e riprende ad allontanarsi da George. Se cambiamo punto di vista, Grace potrebbe raccontare di essere stata ferma nello spazio fino a che ha visto la luce di George prima avvicinarsi e poi allontanarsi. Entrambi vedono l’altro muoversi e ritengono di essere fermi. Ed entrambi hanno ragione. Il moto è relativo.

Se George fosse in una astronave senza finestrini, non ci sarebbe nessun modo per lui di determinare il suo stato di moto senza fare confronti diretti o indiretti con qualche punto di riferimento esterno. Questo fin quando la velocità rimane costante. Se accendesse dei razzi la sua velocità cambierebbe e George sentirebbe la forza dovuta all’accelerazione, cioè percepirebbe la variazione di velocità anche senza nessun punto di riferimento. Il fatto che non si sia in grado di determinare il proprio stato di moto quando ci si muove a velocità costante significa che le leggi della fisica devono essere assolutamente identiche per tutti gli osservatori che si muovono a velocità costante. Questa è la relatività galileiana.

C’è però un problema. Per rispettare la relatività galileiana le equazioni di Maxwell dell’elettromagnetismo dovrebbero cambiare forma a seconda del sistema di riferimento, mentre già da fine ottocento gli esperimenti (il più famoso è l’esperimento di Michelson-Morley) hanno mostrato che la luce viaggia sempre alla stessa velocità indipendentemente dal sistema di riferimento. Einstein ha quindi formulato una nuova definizione di relatività che tenesse conto di questo risultato sperimentale. Poiché la velocità è una grandezza che coinvolge i concetti di spazio e di tempo, vedremo come imporre l’invarianza della velocità della luce cambi radicalmente la nostra comprensione dello spazio e del tempo.

È difficile dare una definizione astratta del tempo. Si può dare una definizione più pragmatica, definendo il tempo come quella entità misurata da un orologio. A sua volta un orologio è definito come un dispositivo che riproduce ciclicamente un evento sempre perfettamente della stessa durata. Misureremo dunque il tempo contando quanti cicli vengono effettuati dal nostro orologio. Per definire come il moto altera il tempo definiamo il più semplice degli orologi: l’orologio a luce.

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L’orologio a luce consiste in due specchi paralleli tenuti ad una distanza fissa da un supporto e da un singolo fotone che rimbalza tra gli specchi. Se gli specchi sono ad una distanza di circa 16 cm tra loro, ci vorrà circa un miliardesimo di secondo per un ciclo completo, quindi un secondo equivale a circa un miliardo di cicli.

Se prendiamo due orologi di questo tipo in movimento uno rispetto all’altro a velocità costante, abbiamo detto che non c’è modo per un osservatore solidale con uno degli orologi per identificare il proprio stato di moto. Osservando l’orologio in movimento, si vede che la luce, per andare da uno specchio all’altro, deve effettuare un percorso più lungo rispetto al percorso nell’orologio fermo. Se la velocità della luce è costante, poiché nell’orologio in movimento il percorso è più lungo, la luce impiegherà un tempo più lungo per completare una riflessione, il che equivale a dire che l’orologio scandirà il tempo più lentamente. Il punto interessante è che lo scorrere del tempo non è alterato solo per gli orologi a luce, ma per qualsiasi tipo di orologio e più in generale per qualsiasi tipo di fenomeno. È il tempo stesso a rallentare.

Se il tempo rallenta, possiamo sconfiggere l’invecchiamento? In poche parole, sarebbe possibile davvero vivere più a lungo muovendosi a velocità prossime a quelle della luce? Questo effetto non è stato mai verificato in modo macroscopico sugli esseri umani per la difficoltà di raggiungere tali velocità, ma è stato direttamente confermato da osservazioni su particelle elementari dette muoni. Prima che pensiate di aver trovato la fonte dell’eterna giovinezza, c’è un aspetto da tenere in considerazione su cui ci soffermeremo tra breve. Tornando ai muoni, in laboratorio queste particelle vanno incontro ad un processo di decadimento con una vita media di circa due milionesimi di secondo, prima di disintegrarsi in un’esplosione di elettroni e neutrini. È stato osservato che gran parte dei muoni prodotti dall’interazione dei raggi cosmici con l’alta atmosfera riescono a raggiungere senza decadere la superficie terrestre percorrendo circa 15 km. Ma considerando la loro vita media (2.2 microsecondi) e la loro velocità (99.92% di c) dovrebbero percorrere solo 660 metri prima di decadere. È proprio la loro velocità che fa sì che nel loro sistema di riferimento il tempo scorra più lentamente permettendo loro di percorrere molta più strada prima di decadere.

Possiamo dunque vivere in eterno? Sebbene gli osservatori vedano i muoni veloci vivere molto più a lungo dei loro analoghi in laboratorio, questo accade perché il tempo scorre più lentamente per i muoni in movimento. Ma questo rallentamento del tempo si applica a tutte le attività dei muoni. Se un muone di laboratorio potesse leggere 100 libri durante la sua vita, il suo compagno in movimento potrebbe leggere gli stessi 100 libri, poiché la sua velocità di lettura sarebbe rallentata allo stesso modo. Dal punto di vista del sistema fermo è come se la vita dei muoni scorresse a rallentatore. Se avessimo delle persone in movimento a quelle velocità, per noi fermi la loro vita durerebbe si più a lungo, ma andrebbe a rallentatore. Per chi è in movimento in pratica non cambierebbe nulla, niente eterna giovinezza dunque.

Imporre quindi l’invarianza della velocità della luce rispetto alla velocità del sistema di riferimento porta a questa nuova concezione non assoluta del tempo, dove il tempo di ogni osservatore scorre diversamente. In modo analogo si può mostrare come nei sistemi in movimento le lunghezze vanno incontro ad una contrazione, che è un modo alternativo di spiegare come i muoni riescano a percorrere 15 km invece di 600 m: alla velocità a cui viaggiano infatti la distanza da loro percorsa si è ridotta.

Ma la relatività speciale ci offre una diversa interpretazione di questi fenomeni che ci mostra come questi derivino dal considerare lo spazio-tempo come uno spazio quadridimensionale in cui le quattro dimensioni, compreso il tempo, siano profondamente legate tra loro.

Consideriamo un veicolo percorrere una certa distanza su una pista rettilinea ad una velocità costante: il tempo impiegato ad arrivare al traguardo dipenderebbe solo dalla velocità del veicolo e dalla lunghezza della pista. Se però il veicolo partisse dalla corsia numero uno ed arrivasse al traguardo alla corsia sei, il percorso risulterebbe più lungo e di conseguenza, mantenendo la stessa velocità, il tempo impiegato sarebbe maggiore. In pratica è come se il veicolo percorresse la pista (dalla partenza all’arrivo) ad una velocità inferiore, perché parte della velocità è stata utilizzata per muoversi trasversalmente dalla pista uno alla pista sei. Le due direzioni (quella partenza-arrivo lungo la pista e quella corsia uno-sei trasversale alla pista) rappresentano le due dimensioni spaziali indipendenti lungo cui può muoversi il veicolo. Anche se la macchina si muove sempre alla stessa velocità, se si muove anche nella direzione trasversale la sua velocità nella direzione longitudinale sarà minore.

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Einstein intuì che questo concetto, la condivisione della velocità tra le varie dimensioni, è alla base della fisica della relatività speciale nel momento in cui consideriamo il tempo come una delle dimensioni tra cui possiamo distribuire il moto di un oggetto. In realtà in quasi tutte le situazioni la maggior parte del moto di un oggetto è proprio attraverso il tempo e non attraverso lo spazio. Se il concetto di moto attraverso lo spazio è intuitivo, il moto attraverso il tempo non ci è invece familiare. Ma se ci pensiamo bene, il concetto di tempo come dimensione spaziale è abbastanza concreto. Se fissiamo un appuntamento con qualcuno dobbiamo allo stesso modo specificare le tre dimensioni spaziali e anche la dimensione temporale se vogliamo incontrarci. Per definire un evento dobbiamo quindi indicare la sua posizione nelle quattro dimensioni dello spazio-tempo. Se il tempo è solo un’altra dimensione, possiamo parlare della velocità di un oggetto attraverso il tempo? Si, possiamo.

Abbiamo visto che quando un oggetto si muove rispetto a noi nello spazio, il suo tempo scorre più lentamente del nostro. E qui entra in gioco l’intuizione di Einstein. Tutti gli oggetti si muovono nello spazio-tempo sempre alla stessa velocità, quella della luce. Nella nostra esperienza quotidiana gli oggetti si muovono a velocità notevolmente inferiori a quella della luce e gli effetti della relatività speciale sono così poco familiari. Ma se pensiamo al movimento nello spazio-tempo, alla velocità costante e alla condivisione della velocità tra le quattro dimensioni, possiamo pensare ad un oggetto fermo rispetto a noi (nello spazio tridimensionale) come ad un oggetto il cui movimento è interamente lungo la dimensione temporale. Ma se un oggetto, in moto nello spazio-tempo a velocità costante c, si muove nello spazio, analogamente alla macchina a velocità costante lungo la pista, la sua velocità lungo la dimensione temporale sarà inferiore, perché parte del suo moto nello spazio-tempo è utilizzato per muoversi lungo lo spazio tridimensionale. Da questa considerazione deriva in modo molto semplice il fenomeno della dilatazione dei tempi della relatività speciale, che è dovuto dunque alla distribuzione della velocità (costante) nello spazio quadridimensionale tra tutte le quattro le dimensioni compresa quella temporale.

Un’altra conseguenza della relatività speciale che emerge in modo naturale da questa interpretazione è come la velocità della luce sia un limite invalicabile, nello spazio classico tridimensionale, per qualsiasi entità fisica. Infatti la velocità massima nello spazio viene raggiunta solo se un oggetto si muove esclusivamente nello spazio stesso. E non si muove per nulla nel tempo. Dunque i fotoni, che si muovono alla velocità c nello spazio, non hanno velocità residua per muoversi nel tempo. Dunque non si muovono nel tempo, o se volete per loro il tempo non passa. Un fotone emerso dal big bang ha la stessa età oggi di quando è stato prodotto. Alla velocità della luce il tempo non scorre.

Ma non solo. Per l’altro fenomeno previsto dalla relatività ristretta, la contrazione delle distanze, per il fotone lo spazio attraversato è nullo. Tutta la distanza percorsa nella direzione del moto si riduce ad un punto singolo. Tutto questo appare ancora più strano se pensiamo ai fotoni emessi da galassie lontane o dal big bang stesso. Hanno impiegato miliardi di anni per arrivare ai nostri strumenti. Durante questo tempo l’espansione dell’universo ha allungato lo spazio aumentando di conseguenza anche la lunghezza d’onda dei fotoni (quello che si chiama il redshift cosmologico). Ma nonostante questo incredibile viaggio, il fotone non ha percepito in nessun modo quello che noi chiamiamo tempo. Il fotone è stato emesso ed istantaneamente assorbito, attraversando l’universo, per lui di lunghezza zero, letteralmente in un tempo nullo. Per quanto ne sappiamo, i fotoni non invecchiano in nessun modo.

Strana la vita ad alta velocità, non trovate?

https://it.wikipedia.org/wiki/L%27Universo_elegante
https://it.wikipedia.org/wiki/Equazioni_di_Maxwell
https://it.wikipedia.org/wiki/Esperimento_di_Michelson-Morley
http://www.roma1.infn.it/exp/webmqc/Il%20mistero%20dei%20muoni.pdf
https://medium.com/starts-with-a-bang/ask-ethan-109-how-do-photons-experience-time-94756eab8bf9#.fgzwejk0b

* In realtà bisogna tenere conto degli effetti relativistici quando si progettano sistemi che coinvolgono entità che si muovono alla velocità della luce, come la luce stessa o le onde elettromagnetiche in generale. I sistemi GPS ad esempio devono tenere in grande considerazione (sia della relatività ristretta che di quella generale) se vogliono fornire dei risultati attendibili su posizioni e velocità.

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