Il moto

Introduzione

La branca della fisica che studia il moto si chiama cinematica. Per definire il moto di un oggetto abbiamo bisogno di definire alcuni concetti.

Approssimazione di punto materiale

Dobbiamo ignorare tutte le caratteristiche del corpo che non siano la sua massa o la sua posizione e considerarlo come un punto. Per poter mantenere la validità di questa approssimazione le dimensioni del corpo devono essere piccole rispetto al percorso effettuato.

Sistema di riferimento

Per descrivere il moto di un corpo abbiamo bisogno di un sistema di riferimento, cioè di un sistema di assi cartesiani in cui poter identificare la posizione del corpo. Sistemi diversi possono portare a descrizioni diversi del moto.

Esempio: se siete seduti su un treno in movimento e avete una borsa sul sedile accanto a voi, la borsa è ferma nel vostro sistema di riferimento (che si muove insieme al treno) ma si muove rispetto ad una persona che vi osserva dalla stazione (perché il treno, e quindi la borsa, si muovono nel sistema di riferimento della stazione).

Il sistema di assi cartesiani può comprendere tutte e tre le dimensioni dello spazio (x, y, z) oppure per semplicità essere limitato a un numero minore di dimensioni. In questa nostra trattazione considereremo solamente moti rettilinei, lungo una sola dimensione, quindi per quanto riguarda gli assi dello spazio avremo solo la dimensione x. La descrizione del moto, che tratta della variazione della posizione di un oggetto nel tempo, richiede l’aggiunta di un ulteriore asse cartesiano che rappresenta il tempo.

Tempo e spazio

Per descrivere il moto abbiamo bisogno di definire le seguenti grandezze:

Posizione

La posizione di un oggetto è data dalle sue coordinate in un sistema di riferimento. Nel moto in una dimensione la posizione di un oggetto è data solo dal valore della sua coordinata x. Si indica, di solito, con la lettera s minuscola e nel SI (Sistema internazionale) si misura in metri (o suoi multipli/sottomultipli).

Tempo (istante di tempo)

L’istante di tempo serve ad identificare quando è avvenuto un evento, nel caso dello studio del moto indica quando un oggetto si trova in una determinata posizione. È quindi un valore in un sistema di riferimento temporale. Si indica, di solito, con la lettera t minuscola e nel SI si misura in secondi (o suoi multipli/sottomultipli).

Esempio: l’istante di tempo in cui vi trovate a scuola alla prima ora sono le ore 8:15, nel sistema di riferimento in cui di solito contiamo il tempo. Un diverso sistema di riferimento potrebbe prendere come 0 l’istante in cui iniziamo una misura, per cui tutti i valori temporali verranno riferiti all’inizio della misura.

Distanza

La distanza percorsa da un oggetto durante il suo moto è pari alla differenza tra due posizioni in due istanti di tempo diversi. Dato che è una differenza di posizioni si indica con Ds e nel SI si misura in metri (o suoi multipli/sottomultipli), come la distanza.

dove è la posizione finale e è la posizione iniziale. Come si vede anche dalla formula, nel caso in cui il moto di un oggetto parta dall’origine del sistema di riferimento, il valore della distanza percorsa coincide con la posizione finale. Infatti se allora (da ora in poi al posto di allora useremo il simbolo =>) .

Intervallo di tempo

L’intervallo di tempo è la differenza tra due istanti di tempo e serve ad indicare quanto tempo è passato tra due eventi. Essendo una differenza di istanti di tempo lo indichiamo con e nel SI lo misuriamo in secondi (o suoi multipli/sottomultipli).

dove è l’istante finale e è l’istante iniziale. Come si vede anche dalla formula, nel caso in cui il primo evento avvenga al tempo 0, il valore dell’intervallo di tempo coincide con il tempo finale.
Infatti se => (allora) .

Velocità

Dopo aver definito le grandezze che ci permettono di descrivere lo spazio e il tempo introduciamo la velocità. La velocità indica la variazione della posizione in funzione del tempo. La velocità è il rapporto tra la distanza percorsa e l’intervallo di tempo impiegato a percorrere quella distanza.

La velocità si indica con la lettera v minuscola e si misura (nel SI) in m/s. La velocità calcolata per un intero percorso, o parti di esso, si chiama velocità media. Se la velocità si riferisce ad un intervallo di tempo piccolissimo (al limite un singolo istante) si dice velocità istantanea.

Moto Rettilineo Uniforme

Il moto rettilineo uniforme è quel moto lungo una traiettoria rettilinea in cui la velocità è costante. Dalla formula della velocità

possiamo ricavare che la relazione tra distanza ed intervallo di tempo è di proporzionalità diretta. Infatti due grandezze il cui rapporto è una cosante sono direttamente proporzionali. Quindi in un grafico con il tempo sull’asse delle ascisse e la distanza sull’asse delle ordinate il moto rettilineo uniforme corrisponderà ad una retta passante per l’origine.

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L’inclinazione della retta corrisponde alla velocità. Più la retta è inclinata, maggiore sarà la velocità. Una retta orizzontale corrisponde ad un oggetto fermo (v = 0).

Per ricavare l’equazione della distanza percorsa in funzione del tempo trascorso (cioè la formula che mette in relazione distanza, tempo e velocità) dobbiamo invertire la formula della velocità e troveremo:

Per trovare l’equazione generale della posizione (non della distanza) in funzione del tempo, ricordiamoci che

e che

per cui sostituendo nella equazione precedente otteniamo

Considerando il tempo iniziale uguale a zero e spostando la posizione iniziale al secondo membro dell’equazione otteniamo

cioè la posizione finale è uguale alla velocità moltiplicato il tempo finale, il tutto sommato alla posizione iniziale. Questa equazione vale per un qualsiasi istante di tempo t e quindi possiamo scriverla come equazione oraria del moto rettilineo uniforme nella sua forma più generale

che si legge come: la posizione s in funzione del tempo, s(t), è uguale alla velocità moltiplicata per il tempo trascorso e sommata alla posizione iniziale (posizione al tempo zero ovvero s0).

Accelerazione

L’accelerazione serve a descrivere la variazione della velocità nel tempo. L’accelerazione è il rapporto tra la velocità e l’intervallo di tempo impiegato a raggiungere quella velocità.

La velocità si indica con la lettera a minuscola e si misura (nel SI) in m/s2. Nel caso di moto rettilineo uniforme essendo la velocità costante, sempre uguale, la sua variazione è nulla, cioè l’accelerazione nel moto rettilineo uniforme vale zero.

Moto uniformemente accelerato

Il moto uniformemente accelerato è un moto in cui la variazione di velocità, cioè l’accelerazione, è costante nel tempo. Visto che la velocità cambia nel tempo può essere interessante studiare il grafico della velocità in funzione del tempo. Da un punto di vista matematico valgono le stesse considerazioni fatte per il moto uniforme, solo che stavolta ad essere costante è il rapporto tra la variazione di velocità e il tempo. Possiamo quindi ricavare la relazione tra velocità e tempo semplicemente scambiando dalle formule precedenti l’accelerazione con la velocità e la velocità con lo spazio. Quindi dalla formula della accelerazione

possiamo ricavare che la relazione tra variazione di velocità e l’intervallo di tempo è di proporzionalità diretta. Quindi nel grafico tempo-velocità la velocità del moto uniformemente accelerato corrisponde ad una retta passante per l’origine. L’inclinazione della retta corrisponde all’accelerazione.

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Più la retta è inclinata, maggiore sarà l’accelerazione. Una retta orizzontale corrisponde ad un oggetto con velocità costante (a = 0), cioè un oggetto che si muove di moto rettilineo uniforme.

Per ricavare l’equazione della variazione di velocità in funzione del tempo trascorso (cioè la formula che mette in relazione velocità, tempo e accelerazione) dobbiamo invertire la formula della accelerazione e troveremo:

Per trovare l’equazione generale della velocità (non della variazione della velocità) in funzione del tempo, ricordiamoci che

e che

per cui sostituendo nella equazione precedente otteniamo

Considerando il tempo iniziale uguale a zero e spostando la velocità iniziale al secondo membro dell’equazione otteniamo

cioè la velocità finale è uguale alla accelerazione moltiplicato il tempo finale, il tutto sommato alla velocità iniziale. Questa equazione vale per un qualsiasi istante di tempo t e quindi possiamo scriverla come equazione oraria della velocità nel moto rettilineo uniformemente accelerato nella sua forma più generale

 

che si legge come: la velocità v in funzione del tempo, v(t), è uguale alla accelerazione moltiplicata per il tempo trascorso e sommata alla velocità iniziale (velocità al tempo zero ovvero v0).

Trovata l’equazione della velocità passiamo ora a studiare la relazione tra la posizione ed il tempo nel caso del moto uniformemente accelerato. Come prima la relazione tra la distanza percorsa è sempre

Solo che, non essendo la velocità costante, nel moto uniformemente accelerato questa relazione vale solo per la velocità media. Dobbiamo quindi calcolare quanto vale la velocità media nel caso del moto uniformemente accelerato. In questo caso (in cui velocità e tempo sono direttamente proporzionali) la velocità media può essere calcolata come

Possiamo sostituire la formula della velocità in funzione del tempo che abbiamo calcolato prima

ed otteniamo

Sostituiamo in ed otteniamo

Come prima, sostituiamo e ed otteniamo

Ora poniamo a zero il tempo iniziale e togliamo le parentesi moltiplicando tutti i membri per il tempo finale

Portando la posizione iniziale al secondo membro dell’equazione siamo quasi arrivati alla forma finale

Ora scriviamo il tutto come equazione oraria dello spazio in funzione del tempo, sostituendo tutte le quantità iniziali con le quantità al tempo zero e trovando quindi l’equazione oraria del moto uniformemente accelerato nella sua forma più generale

Il grafico di questa equazione corrisponde ad una curva detta parabola

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2 risposte a Il moto

  1. Marco Casolino ha detto:

    Luca, nero su bianco le formule non si vedono per nienteeeee

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